Fluctuations of Linear Eigenvalue Statistics of Random Band Matrices

• DOI: 10.1137/s0040585x97t987788
• Publication Date: 2016-09-15T11:51:03Z
• Authors: I. Jana; K. Saha; A. Soshnikov
• Keywords: Central-Limit-Theorem; Characteristic Vectors; Infinite Dimensions; Wigner Matrix; Probability (math.PR); Semicircular Law; Wigner; math.PR; 01 natural sciences; Band Random Matrix; Gaussian Distribution; Scaling Properties; FOS: Mathematics; 0101 mathematics; Bordered Matrices; Central Limit Theorem; Mathematics - Probability; Linear Eigenvalue Statistics

В этой статье мы изучаем флуктуацию линейных статистик собственных значений случайных ленточных матриц $M_{n}=W_{n}/{\sqrt{b_{n}}},$ где $W_{n}$ есть $n\times n$ эрмитова случайная матрица с ленточной длинной $b_{n}$, то есть только диагональные и первые $b_{n}$ внедиагональные матричные элементы не равны нулю. Мы изучаем линейные статистики $\mathcal{N}(\phi)=\sum_{i=1}^{n}\phi(l_{i}),$ где $l_{i}$ - собственные значения $M_{n}$ и $\phi$ достаточно гладкая тест-функция. Мы доказываем, что $\sqrt{{b_{n}}/{n}}[\mathcal{N}(\phi)-\mathbb{E} \mathcal{N}(\phi)]\stackrel{d}{\to} N(0,V(\phi))$ при $b_{n}\gg\sqrt{n}$, где выражение для $V(\phi)$ даeтся в Теореме 1.