On 2-variable $ q $-Hermite polynomials

• DOI: 10.3934/math.2021506
• Publication Date: 2021-06-08T11:21:53Z
• Authors: Nusrat Raza; ; Mohammed Fadel; Kottakkaran Soopp...; M. Zakarya
• Keywords: Prime Number Theory and L-Functions; Difference polynomials; Orthogonal polynomials; Arithmetic of Multiple Zeta Values and Related Functions; quantum calculus; Mathematical analysis; 01 natural sciences; Orthogonal Polynomials; Special functions; 0103 physical sciences; QA1-939; FOS: Mathematics; Hypergeometric function; Variable (mathematics); q-hermite polynomials; Generating function; Hermite polynomials; Algebra over a field; shift operator; Algebra and Number Theory; Applied Mathematics; FOS: Clinical medicine; Pure mathematics; Discrete mathematics; Applied mathematics; Differential calculus; Dentistry; Physical Sciences; Medicine; Calculus (dental); post quantum calculus; Mathematics; Hypergeometric Functions

Le calcul quantique est apparu comme un lien entre les mathématiques et la physique. Il a de nombreuses applications, en particulier en mécanique quantique, en théorie analytique des nombres, en analyse combinatoire, en théorie des opérations, etc. Le $ q $ -calculus, qui sert d'outil puissant pour modéliser l'informatique quantique, a attiré l'attention de nombreux chercheurs dans le domaine des fonctions spéciales et, par conséquent, les $ q $ -analogues de certaines fonctions spéciales, en particulier la fonction hypergéométrique, les polynômes d'Hermite à 1 variable, les polynômes d'Appell, etc., sont introduits et étudiés. Dans cet article, nous introduisons les polynômes $ q $ -Hermite à 2 variables au moyen de la fonction génératrice. En outre, certaines propriétés telles que la définition des séries, les relations de récurrence, l'équation différentielle $ q $ et les formules de sommation sont établies. On obtient la définition opérationnelle et quelques représentations intégrales de ces polynômes. Quelques exemples sont également considérés pour montrer l'efficacité de la méthode proposée. Quelques remarques finales sont données. À la fin de cet article, les représentations graphiques de ces polynômes de certains degrés avec des valeurs spécifiées de $ q $ sont données.<br/>برز حساب التفاضل والتكامل الكمي كعلاقة بين الرياضيات والفيزياء. له تطبيقات واسعة، لا سيما في ميكانيكا الكم، ونظرية الأعداد التحليلية، والتحليل التوافقي، ونظرية التشغيل، إلخ. وقد لفت حساب التفاضل والتكامل، الذي يعمل كأداة قوية لنمذجة الحوسبة الكمومية، انتباه العديد من الباحثين في مجال الوظائف الخاصة، ونتيجة لذلك، يتم تقديم ودراسة نظائر بعض الوظائف الخاصة، وخاصة وظيفة الهندسة الفائقة، ومتعددات حدود الهيرميت متغير واحد، ومتعددات الحدود Appell وما إلى ذلك. في هذه الورقة، نقدم متعددات الحدود 2 $ q $- Hermite المتغيرة عن طريق توليد الدالة. أيضًا، يتم إنشاء خصائص معينة مثل تعريف المتسلسلة وعلاقات التكرار والمعادلة التفاضلية $ q $ وصيغ الجمع. يتم الحصول على التعريف التشغيلي وبعض التمثيلات المتكاملة لهذه الحدود المتعددة. كما يتم النظر في بعض الأمثلة لإظهار فعالية الطريقة المقترحة. وترد بعض الملاحظات الختامية. في نهاية هذه الورقة، يتم إعطاء التمثيلات الرسومية لهذه الحدود متعددة الحدود بدرجات معينة مع قيم محددة من $ q $.<br/>El cálculo cuántico ha surgido como una conexión entre las matemáticas y la física. Tiene amplias aplicaciones, particularmente en mecánica cuántica, teoría analítica de números, análisis combinatorio, teoría de operaciones, etc. El $ q $ -cálculo, que sirve como una poderosa herramienta para modelar la computación cuántica, ha llamado la atención de muchos investigadores en el campo de las funciones especiales y, como resultado, se introducen y estudian los $ q $ -análogos de ciertas funciones especiales, especialmente la función hipergeométrica, los polinomios de Hermite de 1 variable, los polinomios de Appell, etc. En este artículo, presentamos los polinomios de 2 variables $ q $-Hermite por medio de la función de generación. Además, se establecen ciertas propiedades como la definición de series, las relaciones de recurrencia, la ecuación diferencial $q $ y las fórmulas de suma. Se obtiene la definición operativa y algunas representaciones integrales de estos polinomios. También se consideran algunos ejemplos para mostrar la eficacia del método propuesto. Se dan algunos comentarios finales. Al final de este trabajo, se dan las representaciones gráficas de estos polinomios de ciertos grados con valores especificados de $ q $.<br/>The quantum calculus has emerged as a connection between mathematics and physics. It has wide applications, particularly in quantum mechanics, analytic number theory, combinatorial analysis, operation theory etc. The $ q $-calculus, which serves as a powerful tool to model quantum computing, has drawn attention of many researchers in the field of special functions and as a result the $ q $-analogues of certain special functions, especially hypergeometric function, 1-variable Hermite polynomials, Appell polynomials etc., are introduced and studied. In this paper, we introduce the 2-variable $ q $-Hermite polynomials by means of generating function. Also, its certain properties like series definition, recurrence relations, $ q $-differential equation and summation formulas are established. The operational definition and some integral representations of these polynomials are obtained. Some examples are also considerd to show the efficacy of the proposed method. Some concluding remarks are given. At the end of this paper, the graphical representations of these polynomials of certain degrees with specified values of $ q $ are given.<br/>The quantum calculus has emerged as a connection between mathematics and physics. It has wide applications, particularly in quantum mechanics, analytic number theory, combinatorial analysis, operation theory etc. The $ q $-calculus, which serves as a powerful tool to model quantum computing, has drawn attention of many researchers in the field of special functions and as a result the $ q $ -analogues of certain special functions, especially hypergeometric function, 1-variable Hermite polynomials, Appell polynomials etc., are introduced and studied. In this paper, we introduce the 2-variable $ q $-Hermite polynomials by means of generating function. Also, its certain properties like series definition, recurrence relations, $ q $-differential equation and summation formulas are established. The operational definition and some integral representations of these polynomials are obtained. Some examples are also considered to show the efficacy of the proposed method. Some concluding remarks are given. At the end of this paper, the graphical representations of these polynomials of certain degrees with specified values of $ q $ are given.<br/>